Question

（文科）设命题P：函数f（x）=lg（ax²-ax+1）的定义域为R；命题q：不等式3^x-9^x＜a-1对一切正实数均成立．
（1）如果P是真命题，求实数a的取值范围；
（2）如果命题p且q为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意，若p是真命题，则ax²-ax+1＞0对任意实数都成立，由此能够求出p是真命题时，实数a的取值范围．
（2）若命题q为真命题时，则3^x-9^x+1＜a对一切正实数x均成立．由 3^x-9^x+1∈（-∞，1），因此a≥1．再由命题p且q为真命题，列出关于a 的不等关系，由此能求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）由题意，若命题p为真，则ax²-ax+1＞0对任意实数x恒成立
若a=0，1＞0，显然成立；
若a≠0，

a＞0 △=a2-4a ＜0

解得0＜a＜4．
故命题p为真命题时a的取值范围为[0，4）
（2）若命题q为真，则3^x-9^x+1＜a对一切正实数恒成立.3x-9x+1=-(3x-

1

2

)2+

5

4

，
因为x＞0，所以3^x＞1，所以3^x-9^x+1∈（-∞，1），只须a大于等于1即可，因此a≥1
故命题q为真命题时，a≥1．
又命题p且q为真命题，即命题p与q均为真，故

0≤a≤4 a≥1

，解得1≤a＜4．
所以满足题意的实数a的取值范围为[1，4）．

点评：本题考查对函数的定义域理解以及对命题的真假进行判断，属于中档题．解题时注意分类讨论思想的应用．