Question

自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用x_n表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N^*，且x₁＞0．不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x_n成正比，死亡量与x_n²成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c．
（Ⅰ）求x_n+1与x_n的关系式；
（Ⅱ）猜测：当且仅当x₁，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
（Ⅲ）设a=2，b=1，为保证对任意x₁∈（0，2），都有x_n＞0，n∈N^*，则捕捞强度b的
最大允许值是多少？证明你的结论．

Answer 1

解：（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax_n，被捕捞量为bx_n，死亡量为cx_n²，
因此x_n+1-x_n=ax_n-bx_n-cx_n²，n∈N*．（*）
即x_n+1=x_n（a-b+1-cx_n），n∈N*．（**）
（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则x_n恒等于x₁，n∈N*，
从而由（*）式得x_n（a-b-cx_n）恒等于0，n∈N*，
所以a-b-x₁=0．即x₁=．
因为x₁＞0，所以a＞b．
猜测：当且仅当a＞b，且x₁=．每年年初鱼群的总量保持不变．
（Ⅲ）若b的值使得x_n＞0，n∈N*
由x_n+1=x_n（3-b-x_n），n∈N*，知
0＜x_n＜3-b，n∈N*，特别地，有0＜x₁＜3-b．即0＜b＜3-x₁．
而x₁∈（0，2），所以b∈（0，1]．
由此猜测b的最大允许值是1．
下证当x₁∈（0，2），b=1时，都有x_n∈（0，2），n∈N*
①当n=1时，结论显然成立．
②假设当n=k时结论成立，即x_k∈（0，2），
则当n=k+1时，x_k+1=x_k（2-x_k）＞0．
又因为x_k+1=x_k（2-x_k）=-（x_k-1）²+1≤1＜2，
所以x_k+1∈（0，2），故当n=k+1时结论也成立．
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有x_n∈（0，2）．
综上所述，为保证对任意x₁∈（0，2），都有x_n＞0，n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1．
分析：（Ⅰ）利用题中的关系求出鱼群的繁殖量，被捕捞量和死亡量就可得到x_n+1与x_n的关系式；
（Ⅱ）每年年初鱼群的总量保持不变就是x_n恒等于x₁，转化为x_n+1-x_n=0恒成立，再利用（Ⅰ）的结论，就可找到x₁，a，b，c所满足的条件；
（Ⅲ）先利用（Ⅰ）的结论找到关于x_n和b的不等式，再利用x₁∈（0，2），求出b的取值范围以及b的最大允许值，最后在用数学归纳法进行证明即可．
点评：本题是对数列、函数、数学归纳法等知识的综合考查，在作数列方面的应用题时，一定要认真真审题，仔细解答，避免错误．