Question

如图，正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E在AB₁上，F在BD上，且B₁E=BF，求证：EF∥平面BB₁C₁C．

 

Answer 1

答案：
解析：

证法一：连结AF并延长交BC于M，连结B1M，∵AD∥BC，∴△AFD∽△MFB．∴=． 又∵BD=B1A，B1E=BF， ∴DF=AE．∴=．∴EF∥B1M,B1M平面BB1C1C． ∴EF∥平面BB1C1C． 证法二：作FH∥AD交AB于H，连结HE． ∵AD∥BC，∴FH∥BC，BCBB1C1C． ∴FH∥平面BB1C1C． 由FH∥AD可得=． 又BF=B1E,BD=AB1,∴=． ∴EH∥B1B，B1B平面BB1C1C． ∴EH∥平面BB1C1C，EH∩FH=H． ∴平面FHE∥平面BB1C1C，EF平面FHE．∴EF∥平面BB1C1C． 点评：证法一用了证线面平行，先证线线平行．证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内．