Question

【题目】已知非零数列的递推公式为,.

(1)求证数列是等比数列；

(2)若关于的不等式有解,求整数的最小值；

(3)在数列中,是否一定存在首项、第项、第项,使得这三项依次成等差数列？若存在,请指出所满足的条件；若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析(2)整数的最小值为4.(3)存在,当且仅当,且为不小于4的偶数时,成等差数列

【解析】

(1)根据要证明是等比数列的数列,对已知的等式进行恒等变形,即可证明本结论；

(2)利用差比判断数列的单调性,利用单调性求出整数的最小值；

(3)根据(1)求出数列的通项公式,结合已知,可以证明出存在首项、第项、第项,使得这三项依次成等差数列.

(1)由，得，

即，所以是首项为2，公比为2的等比数列．

(2)由(1)可得：，所以已知的不等式等价于

令，

则，

所以单调递增，则

，

于是，即，故整数的最小值为4.

(3)由上面得，则

要使成等差数列，只需，

即

因为，则上式左端；又因为上式右端

于是当且仅当，且为不小于4的偶数时，成等差数列．