Question

如图平面上有A（1，0），B（-1，0）两点，已知圆的方程为（x-3）²+（y-4）²=2²．
（1）在圆上求一点P₁使△ABP₁面积最大并求出此面积；
（2）求使|AP|²+|BP|²取得最小值时的圆上的点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）由于三角形的面积只与底长和高有关系，又|AB|=2为定值，所以在圆上只要找到最高点即可；
（2）设P（x，y），则由两点之间的距离公式，可表示|AP|²+|BP|²，要|AP|²+|BP|²取得最小值只要使|OP|²最小即可．

解答：解：（1）∵三角形的面积只与底长和高有关系，又|AB|=2为定值，
∴在圆上只要找到最高点即可                     
又∵圆心坐标为（3，4），半径为2
∴P₁横坐标为3，纵坐标为4+2=6  …
∴P₁（3，6），S△ABP1=

1

2

×2×6=6…
（2）设P（x，y），则由两点之间的距离公式知
|AP|²+|BP|²=（x+1）²+y²+（x-1）²+y²=2（x²+y²）+2=2|OP|²+2
要|AP|²+|BP|²取得最小值只要使|OP|²最小即可…
又P为圆上的点，所以（|OP|）_min=|OC|-r（r为半径）
（|OP|）_min=|OC|-r=

32+42

-2=3…
∴（|AP|²+|BP|²）_min=2×3²+2=20此时直线OC：y=

4

3

x…
由

y= 4 3 x (x-3)2+(y-4)2=4

解得

x= 9 5 y= 12 5

或

x= 21 5 ＞3 y= 28 5

（舍）…
∴点P的坐标为(

9

5

，

12

5

)…

点评：本题以圆为载体，综合考查圆的方程，考查三角形的面积，考查距离公式，有一定的综合性．