Question

19．已知点P为圆C₁：（x-3）²+（y-4）²=4上的动点
（1）若点Q为直线l：x+y-1=0上动点，求|PQ|的最小值与最大值；
（2）若M为圆C₂：（x+1）²+（y-1）²=4上动点，求|PM|的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出圆心C₁：（3，4），半径r₁=2，及圆心到直线的距离，由图形观察即可得到最值；
（2）求出圆心C₂为（-1，1），半径为r₂=2，求出圆心的距离，判断两圆的位置关系，通过图形观察即可得到所求最值．

解答 解：（1）圆C₁：（x-3）²+（y-4）²=4的圆心C₁：（3，4），半径r₁=2，
圆心C₁到直线x+y-1=0的距离为d=$\frac{|3+4-1|}{\sqrt{1+1}}$=3$\sqrt{2}$＞2，
即有直线和圆相离，即有|PQ|的最小值为3$\sqrt{2}$-2，无最大值；
（2）圆C₂：（x+1）²+（y-1）²=4的圆心C₂为（-1，1），半径为r₂=2，
由|C₁C₂|=$\sqrt{（3+1）^{2}+（4-1）^{2}}$=5＞r₁+r₂=4，即有两圆相离，
即有|PM|的最大值为5+4=9，最小值为5-4=1．

点评 本题考查直线和圆、圆与圆的位置关系，主要考查两点距离的最值的求法，注意运用点到直线的距离公式和数形结合的思想方法，属于中档题．