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曲线y=f(x)=ax3+bx2+cx,当时,f(x)有极小值,当处有极大值,且在x=1处切线的斜率为
(I)求f(x);
(II)曲线上是否存在一点P,使得y=f(x)的图象关于点P中心对称?若存在,请求出点P坐标,并给出证明;若不存在,请说明理由.
【答案】分析:(I)根据1±是极值点可知f′(1±)=0,以及f′(1)=建立方程组,解之即可;
(II)假设存在P(x,y)满足则f(x+x)+f(x-x)=2y,代入函数解析式,化简整理可求出所求.
解答:解:(I)f′(x)=3ax2+2bx+c
∵当时,f(x)有极小值,当处有极大值
∴f′(1±)=0
即1±为方程3ax2+2bx+c=0的两根
∴-=(1+)+(1-
=(1+)(1-
∴b=-3a,c=-6a
又f(x)在x=1处切线的斜率为
∴f′(1)=
∴3a+2b+c=
∴a=-,b=,c=1
∴f(x)=-x3+x2+x
(II)假设存在P(x,y)满足则f(x+x)+f(x-x)=2y
∴-(x+x)3+(x+x)2+(x+x)-(x-x)3+(x-x)2+(x-x)=2y
化简得(1-x)x2+x2+2x-x3=2y
∵上式任意x∈R等式成立

∴x=1,y=
∴曲线上存在P(1,)满足题意
点评:本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及函数在某点取得极值的条件,同时考查了方程组的解法,属于中档题.
练习册系列答案
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已知函数f(x)=
13
ax3+2x2,其中a>0
(Ⅰ)当a=3时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ) 若函数f(x)在区间(-2,0)上是减函数,求a的取值范围;
(Ⅲ)若函数y=f(x)在区间[-1,1]上的最小值为-2时,求a的值.

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已知函数f(x)=-lnx,x∈(0,e).曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线与x轴和y轴分别交于A、B两点,设O为坐标原点,求△AOB面积的最大值.

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(1)试求m、n的值;
(2)求过点A(1,-11)且与曲线y=f(x)相切的切线方程;
(3)过点A(1,t)是否存在与曲线y=f(x)相切的3条切线,若存在求实数t的取值范围;若不存在,请说明理由.

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(2011•惠州模拟)已知二次函数y=g(x)的图象经过点O(0,0)、A(m,0)与点P(m+1,m+1),设函数f(x)=(x-n)g(x)在x=a和x=b处取到极值,其中m>n>0,b<a.
(1)求g(x)的二次项系数k的值;
(2)比较a,b,m,n的大小(要求按从小到大排列);
(3)若m+n≤2,且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线y=f(x)均相切,求y=f(x).

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科目:高中数学 来源: 题型:

设a∈[-2,0],已知函数f(x)=
x3-(a+5)x,x≤0
x3-
a+3
2
x2+ax,x>0

(Ⅰ) 证明f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增;
(Ⅱ) 曲线y=f(x)在点Pi(xi,f(xi))(i=1,2,3)处的切线相互平行,且满足x1<x2<x3(x1x2x3≠0),试求x2、x3、a所满足的关系式;
(Ⅲ)在第(Ⅱ)问的条件下,证明x1+x2+x3>-
1
3

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