Question

已知：函数f(x)=-

1

6

x3+

1

2

x2+x，x∈R．
（Ⅰ）求证：函数f（x）的图象关于点A(1，

4

3

)中心对称，并求f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）的值．
（Ⅱ）设g（x）=f′（x），a_n+1=g（a_n），n∈N^₊，且1＜a₁＜2，求证：
（ⅰ）请用数学归纳法证明：当n≥2时，1＜an＜

3

2

；
（ⅱ）|a1-

2

|+|a2-

2

|+…+|an-

2

|＜2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设P（1-x₁，y₁）是函数f（x）的图象上的任一点，则P关于点A(1，

4

3

)的对称点是Q（1+x₁，

8

3

-y1），证明Q也在函数f（x）的图象上，即可得到结论；根据f（1+x₁）+f（1-x₁）=

8

3

，f（1）=

4

3

，利用倒序相加法，即可求得结论；
（Ⅱ）g（x）=f′（x）=-

1

2

x2+x+1．（ⅰ）先证明当n=2时，命题成立，再利用g（x）在[1，+∞）上单调递减，证明n=k+1时，命题成立，即可得到结论；
（ⅱ）先证明|an+1-

2

|＜

1

2

|an-

2

|，再利用等比数列的求和公式，即可得到结论．

解答：（Ⅰ）证明：设P（1-x₁，y₁）是函数f（x）的图象上的任一点，则P关于点A(1，

4

3

)的对称点是Q（1+x₁，

8

3

-y1）
∵f（1+x₁）+f（1-x₁）=[-

1

6

(1+x1)3+

1

2

(1+x1)2+(1+x1)]+[-

1

6

(1-x1)3+

1

2

(1-x1)2+(1-x1)]=

8

3

∴f（1+x₁）=

8

3

-f（1-x₁）=

8

3

-y₁，
∴Q也在函数f（x）的图象上
∴函数f（x）的图象关于点A(1，

4

3

)中心对称；
∵f（1+x₁）+f（1-x₁）=

8

3

，f（1）=

4

3

∴f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）+f（2009）+f（2008）+…+f（2）+f（1）+…+f（-2007）=

8

3

×4017
∴f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）=5356；
（Ⅱ）证明：g（x）=f′（x）=-

1

2

x2+x+1．
（ⅰ）（1）当n=2时，a₂=g（a₁）=-

1

2

(a1-1)2+

3

2

∵1＜a₁＜2，∴1＜a₂＜

3

2

，∴命题成立
（2）假设n=k（k≥2）时，1＜a_k＜

3

2

，则a_k+1=g（a_k）=-

1

2

(ak-1)2+

3

2

∵g（x）在[1，+∞）上单调递减，∴1-g（2）＜g（

3

2

）＜a_k+1＜g（1）=

3

2

∴n=k+1时，命题成立
由（1）（2）可知，当n≥2时，1＜an＜

3

2

；
（ⅱ）|an+1-

2

|=

1

2

|an-

2

||an-2+

2

|
∵1＜an＜

3

2

，∴|an-2+

2

|＜1
∴|an+1-

2

|＜

1

2

|an-

2

|
∴|an-

2

|＜

1

2

|an-1-

2

|＜…＜

1

2n-1

|a2-

2

|＜

1

2n-1

∴|a1-

2

|+|a2-

2

|+…+|an-

2

|＜1+

1

2

+…

1

2n-1

=2-

1

2n-1

＜2
∴|a1-

2

|+|a2-

2

|+…+|an-

2

|＜2．

点评：本题考查函数图象的对称性，考查数学归纳法，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．