Question

已知函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f(x)=

g(x)

x

．
（1）求a、b的值； 
（2）当

1

2

≤x≤2时，求函数f（x）的值域；
（3）若不等式f（2^x）-k≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数g（x）的对称轴可知其在[2，3]上的单调性，根据单调性可表示出g（x）的最大、最小值，分别令其等于4，1可得方程组，解出即可；
（2）先由（1）得到函数f（x），利用导数可判断f（x）在[

1

2

，2]上的单调性，据单调性可得函数的最大值、最小值，从而得值域；
（3）f（2^x）-k≥0在x∈[-1，1]上恒成立，等价于f（x）_min≥k在[

1

2

，2]上恒成立，借助（2）问可得答案；

解答：解：（1）由于函数g（x）的对称轴为直线x=1，a＞0，
所以g（x）在[2，3]上单调递增，
则

g(2)=1 g(3)=4

，即

4a-4a+1+b=1 9a-6a+1+b=4

，解得a=1，b=0；
（2）由（1）知，f（x）=x+

1

x

-2，f′（x）=1-

1

x2

，
当x∈[

1

2

，1)时，f′（x）＜0，当x∈（1，2]时，f′（x）＞0，
所以f（x）在[

1

2

，1）上单调递减，在（1，2]上单调递增，
当x=1时f（x）取得最小值，当x=

1

2

或x=2时f（x）取得最大值，
f(x)min=0，f(x)max=

1

2

，其值域为[0，

1

2

]；
（3）因为x∈[-1，1]，所以2x∈[

1

2

，2]，
f（2^x）-k≥0在x∈[-1，1]上恒成立，等价于f（x）_min≥k在[

1

2

，2]上恒成立，
由（2）知，k≤0；

点评：本题考查二次函数的性质、复合函数的单调性，利用导数求函数的最值等知识，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力．