Question

已知函数f(x)=

ax2+bx+c

ex

(a＞0)的导函数y=f'（x）的两个零点为-3和0．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）的极小值为-e³，求f（x）在区间[-5，+∞）上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导数f′（x），根据y=f'（x）的两个零点-3和0以及a的符号，即可解得不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0，从而得到函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及所给已知条件可求出f（x），再利用导数即可求得函数f（x）在闭区间上的最大值；

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

(2ax+b)ex-(ax2+bx+c)ex

(ex)2

=

-ax2+(2a-b)x+b-c

ex

，
令g（x）=-ax²+（2a-b）x+b-c，
因为e^x＞0，所以y=f'（x）的零点就是g（x）=-ax²+（2a-b）x+b-c的零点，且f'（x）与g（x）符号相同．
又因为a＞0，所以-3＜x＜0时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，
当x＜-3，或x＞0时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，
所以f（x）的单调增区间是（-3，0），单调减区间是（-∞，-3），（0，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x=-3是f（x）的极小值点，所以有

9a-3b+c e-3 =-e3 b-c=0 -9a-3(2a-b)+b-c=0

，
解得a=1，b=5，c=5，
所以f(x)=

x2+5x+5

ex

．
∵f（x）的单调增区间是（-3，0），单调减区间是（-∞，-3），（0，+∞），
∴f（0）=5为函数f（x）的极大值，
∴f（x）在区间[-5，+∞）上的最大值取f（-5）和f（0）中的最大者．
而f(-5)=

5

e-5

=5e5＞5，所以函数f（x）在区间[-5，+∞）上的最大值是5e⁵．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及函数在闭区间上的最值问题，考查学生分析问题解决问题的能力，属中档题．