【题目】已知函数f(x)= +ax,x>1.
(1)若函数f(x)在 处取得极值,求a的值;
(2)若方程(2x﹣m)lnx+x=0在(1,e]上有两个不等实根,求实数m的取值范围.
【答案】
(1)解:f′(x)= +a,由题可知 ,
经检验a=2,符合题意
(2)解:将方程(2x﹣m)lnx+x=0两边同除lnx得(2x﹣m)+ =0,
整理得 +2x=m,即函数f(x)与函数y=m在(1,e]上有两个不同的交点
f(x)= +2x,f′(x)= ,
令f′(x)=0得2ln2x+lnx﹣1=0,
解得:lnx= 或lnx=﹣1(舍),即x= ,
当1<x< 时,f′(x)<0,当x> 时,f′(x)>0,
可知,f(x)在(1, )上单调递减,在( ,e)上单调递增,
f( )=4 ,f(e)=3e,当x→1时, →+∞,∴4 <m≤3e,
实数m的取值范围为(4 ,3e]
【解析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的方程,求出a的值,检验即可;(2)整理得 +2x=m,即函数f(x)与函数y=m在(1,e]上有两个不同的交点,由f(x)= +2x的单调性求出m的范围即可.
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数的相关知识点,需要掌握求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题.
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【题目】以下四个命题:
①对立事件一定是互斥事件;
②函数y=x+ 的最小值为2;
③八位二进制数能表示的最大十进制数为256;
④在△ABC中,若a=80,b=150,A=30°,则该三角形有两解.
其中正确命题的个数为( )
A.4
B.3
C.2
D.1
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD的平行四边形,∠ADC=60°, ,PA⊥面ABCD,E为PD的中点.
(Ⅰ)求证:AB⊥PC
(Ⅱ)若PA=AB= ,求三棱锥P﹣AEC的体积.
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【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)的最小正周期为
B.直线x=﹣ 是函数f(x)图象的一条对称轴
C.函数f(x)在区间[﹣ , ]上单调递增
D.将函数f(x)的图象向左平移 个单位,得到函数g(x)的图象,则g(x)=2sin2x
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【题目】定义在R上的函数f(x)满足:f′(x)>1﹣f(x),f(0)=6,f′(x)是f(x)的导函数,则不等式 (其中e为自然对数的底数)的解集为( )
A.(0,+∞)
B.(﹣∞,0)∪(3,+∞)
C.(﹣∞,0)∪(1,+∞)
D.(3,+∞)
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【题目】要得到函数y= sin2x+cos2x的图象,只需将函数y=2sin2x的图象( )
A.向左平移 个单位
B.向右平移 个单位
C.向左平移 个单位
D.向右平移 个单位
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【题目】设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn , 令an=lgxn , 则a1+a2+…+a99的值为 .
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【题目】为了培养学生的数学建模和应用能力,某校组织了一次实地测量活动,如图,假设待测量的树木AE的高度H(m),垂直放置的标杆BC的高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β(D,C,E三点共线),试根据上述测量方案,回答如下问题:
(1)若测得α=60°、β=30°,试求H的值;
(2)经过分析若干次测得的数据后,大家一致认为适当调整标杆到树木的距离d(单位:m),使α与β之差较大时,可以提高测量精确度.
若树木的实际高度为8m,试问d为多少时,α﹣β最大?
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