Question

【题目】如图，某市建有贯穿东西和南北的两条垂直公路，，在它们交叉路口点处的东北方向建有一个荷花池，荷花池的外围是一条环形公路，荷花池中的固定观景台位于两条垂直公路的角平分线上，与环形公路的交点记作．游客游览荷花池时，需沿公路先到达环形公路处.为了分流游客，方便游客游览荷花池，计划从靠近公路，的环形公路上选，两处（，关于直线对称）修建直达观景台的玻璃栈道，．以，所在的直线为，轴建立平面直角坐标系，靠近公路，的环形公路可用曲线近似表示，曲线符合函数．

（1）若百米，点到的垂直距离为1百米，求玻璃栈道的总长度；

（2）若要使得玻璃栈道的总长度最小为百米，求观景台的位置．

Answer 1

【答案】（1）百米．（2）

【解析】

(1)由百米可得，点到的垂直距离为1百米可得，用平面两点间的距离公式可求解答案.
(2)根据题意即的最小值为，设，，则
,然后换元求出最值，解出的值.

解：（1）在平面直角坐标系中，设定点，

因为，所以，解得，即点．

因为点到的垂直距离为1百米，所以点；

所以，

又因为，关于直线对称，点在直线上，

所以．即．

所以玻璃栈道的总长度是百米．

（2）在平面直角坐标系中，，设定点，

动点，因为，关于直线对称，

点在直线上，所以．

，则，

令，则，

函数的导数，

当时，，

所以在上单调减，所以

函数，图象对称轴是，

当时，在区间上单调递增，无最小值；

当时，在上单调递减，在上单调递增，

即在时有最小值，

由题意，因为，所以．

所以若要使得玻璃栈道总长度最小为百米，观景平台的坐标是．