Question

（2012•怀化二模）如图，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，∠PAD=

π

2

，且PA=AD，E，F分别是线段PA，CD的中点．
（1）求证：PC⊥BD
（2）求直线EF与面PAD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直，证明线线垂直，即证BD⊥面PAC，可得PC⊥BD；
（2）根据面PAD⊥面ABCD，且CD⊥AD，所以CD⊥面PAD，可得EF在面PAD上的射影是ED，所以∠FED为所求，在直角三角形FDE中，即可求直线EF与面PAD所成角的余弦值．

解答：（1）证明：因为面PAD⊥面ABCD，且PA⊥AD，所以PA⊥面ABCD，因为BD?面ABCD，所以PA⊥BD-----------------（3分）
因为底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC
又因PA和AC是面PAC上两相交直线，所以BD⊥面PAC，所以PC⊥BD-------（6分）
（2）解：因为面PAD⊥面ABCD，且CD⊥AD，所以CD⊥面PAD，
故EF在面PAD上的射影是ED，所以∠FED为所求----------（8分）
设PA=AD=b，在直角三角形FDE中，DF=

1

2

CD=

1

2

b，DE=

EA2+AD2

=

1 4 b2+b2

=

5

2

b
所以EF=

DE2+DF2

=

5 4 b2+ 1 4 b2

=

6

2

b-------------（10分）
所以 cos∠FED=

DE

EF

=

5 2 b

6 2 b

=

30

6

所以直线EF与面PAD所成角的余弦值为

30

6

---------------------（12分）

点评：本题考查线面垂直、线线垂直，考查线面角，解题的关键是正确作出线面角，掌握线线垂直的判定方法．