Question

11．设$f（x）=\frac{{{2^x}+a}}{{{2^{x+1}}+b}}$是定义在R上的奇函数（a，b为实常数）．
（1）求a与b的值；
（2）证明函数f（x）的单调性并求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据f（0）=0，求出a的值，根据f（-x）=-f（x），求出b的值即可；（2）根据函数单调性的定义证明函数的单调性即可．

解答 解：（1）f（x）是奇函数时，
∵$f（0）=\frac{1+a}{2+b}=0$，
∴a=-1…（3分），
又∵f（-x）=-f（x），
即$\frac{{{2^{-x}}-1}}{{{2^{-x+1}}+b}}=-\frac{{{2^x}-1}}{{{2^{x+1}}+b}}$对任意实数x成立，
化简整理得（b-2）•2^x+（b-2）•2^-x+（2b-4）=0，
这是关于x的恒等式，所以b=2…（7分）
（2）$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^{x+1}}+2}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}}$，
证明：任取x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{1}{{{2^{x_2}}+1}}-\frac{1}{{{2^{x_1}}+1}}=\frac{{{2^{x_1}}-{2^{x_2}}}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}$，
∵x₁＜x₂，∴$0＜{2^{x_1}}＜{2^{x_2}}$，
∴f（x₁）＜f（x₂）
即函数f（x）在R上单调递增，…（ 12分），
∵2^x+1＞1，∴$0＜\frac{1}{{{2^x}+1}}＜1$，
从而$-\frac{1}{2}＜f（x）＜\frac{1}{2}$；
所以函数f（x）的值域为$（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$．…（ 15分）

点评 本题考查了奇函数的定义，考查通过定义证明函数的单调性问题，是一道中档题．