Question

20．作边长为1的正三角形的内切圆，在这个圆内做新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的面积之和为$\frac{π}{9}$．

Answer 1

分析 如图所示，设第n正三角形的内切圆的边角为r_n，则r₁=$\frac{1}{2}tan\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}$，r₂=${r}_{1}sin\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}{r}_{1}$，…．可得数列$\{{r}_{n}^{2}\}$为等比数列，首项为$（\frac{\sqrt{3}}{6}）^{2}$，公比为$\frac{1}{4}$，即可得出．

解答 解：如图所示，
设第n正三角形的内切圆的边角为r_n，
则r₁=$\frac{1}{2}tan\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}$，r₂=${r}_{1}sin\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}{r}_{1}$，…．
∴数列$\{{r}_{n}^{2}\}$为等比数列，首项为$（\frac{\sqrt{3}}{6}）^{2}$，公比为$\frac{1}{4}$，
∴所有这些圆的面积之和=$\frac{π（\frac{\sqrt{3}}{6}）^{2}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{π}{9}$．
故答案为：$\frac{π}{9}$．

点评 本题考查了正三角形的性质、三角形的内切圆的面积、等比数列的前n项和及其极限，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．