Question

12．函数y=f（x）为偶函数，且对任意x₁、x₂∈R均有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2x₁x₂+1
（1）求f（0）、f（1）、f（2）的值：
（2）求y=f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）直接令x₁=x₂=0得：f（0）=-1；同样x₁=1，x₂=-1得：f（1）=0；令x₁=x₂=1得：f（2）=3；
（2）直接根据f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）+2x（-x）+1以及f（x）=f（-x），f（0）=-1即可求出f（x）．

解答 解：（1）令x₁=x₂=0得f（0）=2f（0）+1，得f（0）=-1，
令x₁=1，x₂=-1得f（1-1）=2f（1）-1=f（0）=-1，得f（1）=0，
令x₁=x₂=1得f（2）=2f（1）+3=3．
（2）令x₁=x，x₂=-x，则有f（x-x）=f（x）+f（-x）-2x²+1=-1，
又∵f（x）为偶函数，
∴f（x）=f（-x），代入上式可得：f（x）=x²-1．

点评 本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合．解决第一问的关键在于赋值法的应用．一般在见到函数解析式不知道而要求具体的函数值时，多用赋值法来解决