Question

4．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，其中AB⊥AC，SA⊥AC，SA=2，AB=AC=$\sqrt{2}$，若顶点S到BC边中点的距离为$\sqrt{5}$，则球O的体积为$\frac{8\sqrt{2}}{3}π$．

Answer 1

分析 取BC的中点D，连接AD，SD，证明SA⊥平面ABC，将三棱锥S-ABC扩充为长方体，三边长为$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，2，求出对角线长，可得三棱锥S-ABC的外接球的半径，即可求出球O的体积．

解答 解：取BC的中点D，连接AD，SD，则
∵AB⊥AC，AB=AC=$\sqrt{2}$，
∴BC=2，∴AD=1
∵SA=2，顶点S到BC边中点的距离为$\sqrt{5}$，
∴SA⊥AD，
∵SA⊥AC，AD∩AC=A，
∴SA⊥平面ABC，
∵AB⊥AC，
∴三棱锥S-ABC可以扩充为长方体，三边长为$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，2，
∴长方体是对角线长为$\sqrt{2+2+4}$=2$\sqrt{2}$，
∴三棱锥S-ABC的外接球的半径为$\sqrt{2}$，
∴球O的体积为$\frac{4}{3}π•（\sqrt{2}）^{3}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}π$．
故答案为：$\frac{8\sqrt{2}}{3}π$．

点评 本题考查球O的体积，考查学生的计算能力，三棱锥S-ABC扩充为长方体是关键．