Question

设M=2^t+i_t-1×2^t-1+…+i₁×2+i₀，其中i_k=0或1（k=0，1，2，…，t-1，t∈N⁺），并记M=（1i_t-1i_t-2…i₁i₀）₂．对于给定的
x₁=（1i_t-1i_t-2…i₁i₀）₂，构造无穷数列{x_n}如下：x₂=（1i₀i_t-1i_t-2…i₂i₁）₂，x₃=（1i₁i₀i_t-1…i₃i₂），x₄=（1i₂i₁i₀i_t-1…i₃）₂…，
（1）若x₁=109，则x₃=________ （用数字作答）；
（2）给定一个正整数m，若x₁=2^2m+2+2^2m+1+2^2m+1，则满足x_n=x₁（n∈N⁺且n≠1）的n的最小值为________．

Answer 1

解：（1）∵x₁=109=2⁶+2⁵+2³+2²+1
∴x₁=（1101101）₂而x₃=（1i₁i₀i_t-1…i₃i₂）₂=（1011011）₂，
∴x₃=2⁶+2⁴+2³+2¹+1=91
（2）∵x₁=2^2m+2+2^2m+1+2^2m+1
∴x₁=（1i_2m+1i_2m…i₁i₀）₂而x₂=（1i₀i_2m+1i_2m…i₁）₂，x₃=（1i₁i₀i_2m+1i_2m…i₂）₂，
当i₀跑到最后时移动了2m+2次，此时x_2m+3=x₁，
满足x_n=x₁（n∈N⁺且n≠1）的n的最小值为2m+3
故答案为：91、2m+3
分析：（1）先将x₁=109分成2⁶+2⁵+2³+2²+1从而得到1i_t-1i_t-2…i₁i₀的值，然后根据x₃=（1i₁i₀i_t-1…i₃i₂）₂进行求解即可；
（2）根据x₁=2^2m+2+2^2m+1+2^2m+1则x₁=（1i_2m+1i_2m…i₁i₀）₂，从而x₂=（1i₀i_2m+1i_2m…i₁）₂，x₃=（1i₁i₀i_2m+1i_2m…i₂）₂，依此类推x_2m+3=x₁=（1i_2m+1i_2m…i₁i₀）₂，从而得到结论．
点评：本题主要考查了数列的应用，解题的关键是弄清题意，根据新的定义求解，属于中档题．