已知函数f(x)的定义域为R,对任意的,且当时,.
(Ⅰ)求证:函数f(x)为奇函数;
(Ⅱ)求证:
(Ⅲ)求函数在区间[-n,n](n)上的最大值和最小值。
(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ) 证明见解析(Ⅲ) ,=2n。
(Ⅰ)证明:∵对任意的 ①
令得 ②…………1分
令得……………………2分
∴ 由②得
∴函数为奇函数………………………………3分
(Ⅱ)证明:(1)当n=1时等式显然成立
(2)假设当n=k(k)时等式成立,即,…………4分
则当n=k+1时有
,由①得………………6分
∵ ∴
∴当n=k+1时,等式成立。
综(1)、(2)知对任意的,成立。………………8分
(Ⅲ)解:设,因函数为奇函数,结合①得
=,……………………9分
∵
又∵当时,
∴,∴
∴函数在R上单调递减…………………………………………12分
∴
由(2)的结论得,
∵,∴=-2n
∵函数为奇函数,∴
∴ ,=2n。……………………14分
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| ||
1-x |
1 |
2 |
OP |
OM |
ON |
1 |
n |
2 |
n |
n-1 |
n |
|
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n |
i=1 |
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π |
6 |
π |
3 |
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S1 | S2 |
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