Question

设p：函数f（x）=x²-2cx+c²+1在区间（0，1）上的最小值为1，q：不等式x+|x-2c|＞1的解集为R，如果命题P或q中一个为真命题另一个为假命题，试求c的取值范围．

Answer 1

分析：根据函数f（x）=x²-2cx+c²+1=（x-c）²+1在区间（0，1）上最小值为1，得出0＜c＜1；结合不等式x+|x-2c|＞1的解集为R?函数y=x+|x-2c|在R上恒大于1，得出c的取值范围，最后利用P和Q中有且只有一个正确；分两种情况：如果P正确，且Q不正确，；如果P不正确，且Q正确，分别求得c的取值范围即可．

解答：解：f（x）=x²-2cx+c²+1=（x-c）²+1在区间（0，1）上最小值为1，∴0＜c＜1
不等式x+|x-2c|＞1的解集为R?函数y=x+|x-2c|在R上恒大于1
∵x+|x-2c|=

2x-2c，x≥2c 2c，x＜2c

∴函数y=x|x-2c|在R上的最小值为2c；
不等式x+|x-2c|＞1的解集为R?2c＞1?c＞

1

2

；
∵P和Q中有且只有一个正确；
∴如果P正确，且Q不正确，则0＜c≤

1

2

；如果P不正确，且Q正确，则c≥1，
综上可知c的取值范围为(0，

1

2

]∪[1，+∞)

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，二次函数在闭区间上的最值，综合性比较强，难度也比较大．