Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且a_n＝S_n－1＋2(n≥2)，a₁＝2.
(1)求数列{a_n}的通项公式．
(2)设b_n＝，T_n＝b_n＋1＋b_n＋2＋…＋b_2n，是否存在最大的正整数k，使得
对于任意的正整数n，有T_n＞恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）2ⁿ（2）存在

(1)由已知a_n＝S_n－1＋2，  ①
得a_n＋1＝S_n＋2.  ②
②－①，得a_n＋1－a_n＝S_n－S_n－1(n≥2)，
∴a_n＋1＝2a_n(n≥2)．
又a₁＝2，∴a₂＝a₁＋2＝4＝2a₁，
∴a_n＋1＝2a_n(n＝1,2,3，…)，
∴数列{a_n}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n＝2·2^n－1＝2ⁿ，n∈N^*.
(2)b_n＝＝＝，∴T_n＝b_n＋1＋b_n＋2＋…＋b_2n＝＋＋…＋，T_n＋1＝b_n＋2＋b_n＋3＋…＋b_2(n＋1)＝＋＋…＋＋＋.
∴T_n＋1－T_n＝＋－＝＝.
∵n是正整数，∴T_n＋1－T_n＞0，即T_n＋1＞T_n.
∴数列{T_n}是一个单调递增数列．又T₁＝b₂＝，∴T_n≥T₁＝，
要使T_n＞恒成立，则＞，即k＜6.又k是正整数，故存在最大正整数k＝5使T_n＞恒成立．