Question

6．某工厂组织工人技能培训，其中甲、乙两名技工在培训时进行的5次技能测试中的成绩如图茎叶图所示．
（1）现要从中选派一人参加技能大赛，从这两名技工的测试成绩分析，派谁参加更合适；
（2）若将频率视为概率，对选派参加技能大赛的技工在今后三次技能大赛的成绩进行预测，记这三次成绩中高于85分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由茎叶图分别求出甲、乙两人的平均数和方差，由此能求出结果．
（Ⅱ）甲高于85分的频率为$\frac{4}{5}$，每次成绩高于85分的概率$p=\frac{4}{5}$，由题意知ξ=0，1，2，3，由此能求出ξ的分布列及数学期望．

解答 解：（Ⅰ）$\overline{x_甲}=\frac{74+86+87+91+92}{5}=86，\overline{x_乙}=\frac{77+86+83+87+97}{5}=86$．
（2分）$s_甲^2=\frac{1}{5}[{（74-86）^2}+{（86-86）^2}+{（87-86）^2}+{（91-86）^2}+{（92-86）^2}]=41.2$，
$s_乙^2=\frac{1}{5}[{（77-86）^2}+{（86-86）^2}+{（83-86）^2}+{（87-86）^2}+{（97-86）^2}]=42.5$．（4分）
∵$\overline{{x_{甲}}}=\overline{x_乙}，s_甲^2＜s_乙^2$，∴派甲去更合适．（6分）
（Ⅱ）甲高于85分的频率为$\frac{4}{5}$，
∴每次成绩高于85分的概率$p=\frac{4}{5}$，
由题意知ξ=0，1，2，3，
$P（ξ=0）=C_3^0{（\frac{4}{5}）^0}{（1-\frac{4}{5}）^3}=\frac{1}{125}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{4}{5}）（1-\frac{4}{5}）^{2}$=$\frac{12}{125}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{4}{5}）^{2}（1-\frac{4}{5}）$=$\frac{48}{125}$，
$P（ξ=3）=C_3^3{（\frac{4}{5}）^3}{（1-\frac{4}{5}）^0}=\frac{64}{125}$（10分）
∴ξ分布列为

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{64}{125}$

$Eξ=0×\frac{1}{125}+1×\frac{12}{125}+2×\frac{48}{125}+3×\frac{64}{125}=\frac{12}{5}$（12分）

点评 本题考查茎叶图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．