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已知圆C1:x2+y2=2,在圆C1上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PQ,Q为垂足,点M满足
PM
=(1-
2
2
PQ

(1)求点M的轨迹C2的方程;
(2)过点(0,1)作直线l,l与C1交于A、B两点,l与C2交于C、D两点,求|AB|•|CD|的最大值.
考点:直线和圆的方程的应用,轨迹方程
专题:圆锥曲线中的最值与范围问题
分析:(1)设M(x0,y0),P(x,y),则Q(x,0),由题意知(x0-x,y0-y)=(0,(
2
2
-1)y)
,由此能求出点M的轨迹方程.
(2)当直线l斜率不存在时,|AB|•|CD|=4
2
,当直线l斜率存在时,设l的方程为y=kx+1,将l:y=kx+1与C1:x2+y2=2联立,得(k2+1)x2+2kx-1=0,由此利用根与系数的关系和弦长公式得|AB|=
8k2+4
k2+1
,同理|CD|=
k2+1
16k2
(2k2+1)2
,由此能求出|AB|•|CD|的最大值为4
2
解答: 解:设M(x0,y0),P(x,y),则Q(x,0),
PM
=(x0-x,y0-y),
PQ
=(0,-y),
由题意知(x0-x,y0-y)=(0,(
2
2
-1)y)

x0-x=0
y0-y=(
2
2
-1)y
,解得
x=x0
y=
2
y0

∵P在圆C1:x2+y2=2上,∴x02+2y02=2
∴点M的轨迹方程为
x2
2
+y2=1

(2)当直线l斜率不存在时,|AB|=2
2
,|CD|=2,
则|AB|•|CD|=4
2

当直线l斜率存在时,设其斜率为k,则l的方程为y=kx+1,
设A(x1,y1),B(x2,y2),将l:y=kx+1与C1:x2+y2=2联立,消去y,整理,得:
(k2+1)x2+2kx-1=0,
由根与系数的关系,得:x1+x2=-
2k
k2+1
x1x2=-
1
k2+1

|AB|=
k2+1
(x1+x2)2-4x1x2
=
k2+1
4k2
(k2+1)2
+
4
k2+1
=
8k2+4
k2+1

同理,设C(x3,y3),D(x4,y4),
将直线l:y=kx+1与C2
x2
2
+y2=1
联立,消去y,
整理,得:(2k2+1)x2+4kx=0,
由根与系数的关系,得:x3+x4=-
4k
2k2+1
,x3x4=0,
∴|CD|=
1+k2
(x3+x4)2-4x3x4
=
k2+1
16k2
(2k2+1)2

∴|AB|•|CD|=
8k2+4
k2+1
k2+1
16k2
(2k2+1)2
=8
k2
2k2+1
<8
1
2
=4
2

综上,|AB|•|CD|的最大值为4
2
点评:本题考查点的轨迹方程的求法,考查线段乘积的最大值的求法,解题时要认真审题,注意韦达定理和弦长公式的合理运用.
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+
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4
3
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3
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