Question

定义在R上的函数y=f（x）满足f（5+x）=f（-x），（x-

5

2

）f′（x）＞0，已知x₁＜x₂，则f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＜5的（　　）条件．

• A、充分不必要
• B、必要不充分
• C、充分必要
• D、既不充分也不必要

Answer 1

分析：先求出对称轴，然后根据(x-

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2

)f/(x)＞0可判定函数在对称轴两侧的单调性，最后根据函数的单调性可验证是充要条件．

解答：解：∵f（5+x）=f（-x），所以函数f（x）关于x=

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2

对称
∵(x-

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2

)f/(x)＞0，
∴x＞

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2

时，f'（x）＞0  函数f（x）单调递增；当x＜

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时，f'（x）＜0   函数f（x）单调递减
当x₁＜x₂时，若f（x₁）＞f（x₂）则有x₁＜x₂＜5-x₁，∴x₁+x₂＜5成立，故条件充分
当x₁+x₂＜5时，必有x₂＜5-x₁成立，又因为x₁＜x₂，所以f（x₁）＞f（x₂）成立，故必要
f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＜5的充要条件
故选C．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系和充分、必要条件的判定．属中档题．