Question

10．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}，x≥0}\\{lo{g}_{3}（-x），x＜0}\end{array}\right.$，函数g（x）=f²（x）+f（x）+t（t∈R）．关于函数g（x）的零点，下列判断不正确的是（　　）

• A． 若t＜-2，g（x）有四个零点
• B． 若t=-2，g（x）有三个零点
• C． 若-2＜t＜$\frac{1}{4}$，g（x）有两个零点
• D． 若t=$\frac{1}{4}$，g（x）有一个零点

Answer 1

分析 由已知中函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}，x≥0}\\{lo{g}_{3}（-x），x＜0}\end{array}\right.$的解析式，画出函数f（x）的图象，令m=f（x），可得m≥1时，m=f（x）有两根，m＜1时，m=f（x）有一根，根据二次函数的图象和性质分析t取不同值时，g（x）=m²+m+t根的个数及分面情况，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}，x≥0}\\{lo{g}_{3}（-x），x＜0}\end{array}\right.$的图象如下图所示：

令m=f（x），m≥1时，m=f（x）有两根，m＜1时，m=f（x）有一根，
若t＜-2，则m²+m+t=0有两个根，一个大于1，一个小于1
此时，g（x）=0有三个根，故A错误；
若t=-2，则由m²+m+t=0得m=-2，m=1，
此时g（x）=0有三个根，
即g（x）有三个零点，故B正确；
若-2＜t＜$\frac{1}{4}$，则m²+m+t=0有两个根，但均小于1
此时，g（x）=0有两个根，故C正确；
若t=$\frac{1}{4}$，则g（x）=f²（x）+f（x）+$\frac{1}{4}$=（m+$\frac{1}{2}$）²=0，
此时m=-$\frac{1}{2}$，由上图可得，此时函数m=0有一个根，
即g（x）有一个零点，故D正确．
故选A．

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数解析式的求解及常用方法，其中画出函数f（x）的图象，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．