Question

（2012•江苏三模）已知直线y=x与函数g(x)=

2

x

(x＞0)和图象交于点Q，P、M分别是直线y=x与函数g(x)=

2

x

(x＞0)的图象上异于点Q的两点，若对于任意点M，PM≥PQ恒成立，则点P横坐标的取值范围是

(-∞，

2

)∪（

2

，2

2

]

．

Answer 1

分析：由题意可得点Q（

2

，

2

），设M（a，

2

a

），且 a＞0，a≠

2

，设P（b，b），则由PM≥PQ恒成立，可得
b≤

a

2

+

1

a

+

2

．由基本不等式可得

a

2

+

1

a

+

2

＞2

2

，故 b≤2

2

，由此求得点P横坐标b的取值范围．

解答：解：∵直线y=x与函数g(x)=

2

x

(x＞0)和图象交于点Q，∴点Q（

2

，

2

）．
由于 P、M分别是直线y=x与函数g(x)=

2

x

(x＞0)的图象上异于点Q的两点，
设M（a，

2

a

），且 a＞0，a≠

2

，设P（b，b），则由PM≥PQ恒成立，
可得 （b-a）²+(b-

2

a

)2≥(b-

2

)2+(b-

2

)2 恒成立，化简可得 （2a+

4

a

-4

2

）b≤a²+

4

a2

-4．
由于a＞0，a≠

2

时，故（2a+

4

a

-4

2

）＞0，且 a²+

4

a2

-4＞0，由不等式可得
b≤

a2+ 4 a2 -4

2a+ 4 a -4 2

=

a4+4-4a2

2a3+4a-4 2 a 2

=

1

2a

•

(a2 -2)2

(a- 2 )2

=

1

2a

•( 

a2 -2

a- 2

)2
=

1

2a

•(a+

2

)2=

a

2

+

1

a

+

2

．
即 b≤

a

2

+

1

a

+

2

．
由a＞0，a≠

2

，利用基本不等式可得

a

2

+

1

a

+

2

＞2

2

，故 b≤2

2

．
再由题意可得，b≠

2

，故点P横坐标b的取值范围是 (-∞，

2

)∪（

2

，2

2

]．
故答案为 (-∞，

2

)∪（

2

，2

2

]．

点评：本题主要考查函数的恒成立问题，基本不等式的应用，式子变形是解题的难点和关键，属于中档题．