Question

设f（x）=6cos²x-

3

sin2x．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）△ABC中锐角A满足f(A)=3-2

3

，B=

π

12

，角A、B、C的对边分别为a，b，c，求(

a

b

+

b

a

)-

c2

ab

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将f（x）解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，由余弦函数的值域即可求出f（x）的最大值，再将ω的值代入周期公式，即可求出函数的最小正周期；
（Ⅱ）由第一问求出的f（x）解析式，根据f（A）=3-2

3

，求出cos（2A+

π

6

）的值，由A为锐角，求出2A+

π

6

的范围，利用特殊角的三角函数值求出2A+

π

6

的度数，进而确定出A的度数，再由B的度数，利用三角形的内角和定理求出C的度数，确定出cosC的值，将所求式子括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用同分母分式的减法法则计算，整理后利用余弦定理变形，将cosC的值代入即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=6cos²x-

3

sin2x
=6×

1+cos2x

2

-

3

sin2x
=3cos2x-

3

sin2x+3
=2

3

（

3

2

cos2x-

1

2

sin2x）+3
=2

3

cos（2x+

π

6

）+3，
∵-1≤cos（2x+

π

6

）≤1，
∴f（x）的最大值为2

3

+3；
又ω=2，∴最小正周期T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）由f（A）=3-2

3

得：2

3

cos（2A+

π

6

）+3=3-2

3

，
∴cos（2A+

π

6

）=-1，
又0＜A＜

π

2

，∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

7π

6

，
∴2A+

π

6

=π，即A=

5

12

，
又B=

π

12

，∴C=

π

2

，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=0，
则（

a

b

+

b

a

）-

c2

ab

=

a2+b2-c2

ab

=2×

a2+b2-c2

2ab

=2cosC=0．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：余弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的余弦函数公式，余弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．