Question

20．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）过点（{1，\frac{{\sqrt{6}}}{3}}）$，离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆C的下顶点为A，直线l过定点$Q（{0，\frac{3}{2}}）$，与椭圆交于两个不同的点M、N，且满足|AM|=|AN|．求直线l的方程．

Answer 1

分析 （I）由离心率公式和点满足椭圆方程，及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线的方程为y=kx+$\frac{3}{2}$（k≠0），与椭圆方程联立，运用韦达定理，再由|AM|=|AN|，运用两点的距离公式，化简整理可得k的方程，解方程可得k，进而得到所求直线方程．

解答 解：（I）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{3{b}^{2}}$=1，且a²-b²=c²，
解得a=$\sqrt{3}$，b=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（Ⅱ）若直线的斜率不存在，M，N为椭圆的上下顶点，
即有|AM|=2，|AN|=1，不满足题设条件；
设直线l：y=kx+$\frac{3}{2}$（k≠0），与椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1联立，
消去y，可得（1+3k²）x²+9kx+$\frac{15}{4}$=0，
判别式为81k²-4（1+3k²）•$\frac{15}{4}$＞0，化简可得k²＞$\frac{5}{12}$，①
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），可得x₁+x₂=-$\frac{9k}{1+3{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+3=3-$\frac{9{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$=$\frac{3}{1+3{k}^{2}}$，
由|AM|=|AN|，A（0，-1），可得
$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+（{y}_{1}+1）^{2}}$=$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+（{y}_{2}+1）^{2}}$，
整理可得，x₁+x₂+（y₁+y₂+2）（$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$）=0，（y₁≠y₂）
即为-$\frac{9k}{1+3{k}^{2}}$+（$\frac{3}{1+3{k}^{2}}$+2）•k=0，
可得k²=$\frac{2}{3}$，即k=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
代入①成立．
故直线l的方程为y=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$x+$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线的方程的求法，注意联立直线和椭圆方程，以及韦达定理，考查运算能力，属于中档题．