Question

12．已知F是抛物线y²=4x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA⊥OB（其中O为坐标原点），则△AOB与△AOF面积之和的最小值是（　　）

• A． 16
• B． 8$\sqrt{3}$
• C． 8$\sqrt{5}$
• D． 18

Answer 1

分析 先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．

解答 解：设直线AB的方程为：x=ty+m，
点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB与x轴的交点为M（m，0），
x=ty+m代入y²=4x，可得y²-4ty-4m=0，
根据韦达定理有y₁•y₂=-4m，
∵OA⊥OB，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0，从而（$\frac{1}{4}$y₁•$\frac{1}{4}$y₂）²+y₁•y₂=0，
∵点A，B位于x轴的两侧，
∴y₁•y₂=-16，故m=4．
不妨令点A在x轴上方，则y₁＞0，
又F（1，0），
∴S_△ABO+S_△AFO=$\frac{1}{2}$×4×（y₁-y₂）+$\frac{1}{2}$×y₁=$\frac{5}{2}$y₁+$\frac{32}{{y}_{1}}$
≥8$\sqrt{5}$，
当且仅当$\frac{5}{2}$y₁=$\frac{32}{{y}_{1}}$，即y₁=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$时，取“=”号，
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是8$\sqrt{5}$，
故选：C．

点评 求解本题时，应考虑以下几个要点：
1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．
2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．
3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．