Question

已知函数f（x）=e^x（ax+1）（e为自然对数的底，a∈R为常数）．对于函数h（x）和g（x），若存在常数k，m，对于任意x∈R，不等式h（x）≥kx+m≥g（x）都成立，则称直线y=kx+m是函数h（x），g（x）的分界线．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设a=1，试探究函数f（x）与函数g（x）=-x²+2x+1是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出函数f（x）的导函数f'（x），然后讨论a与0的大小关系，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调区间；
（2）假设存在，则e^x（x+1）≥kx+m≥-x²+2x+1恒成立，令x=0，求出m的值，从而kx+1≥-x²+2x+1恒成立，转化成-x²+（k-2）x≥0恒成立，利用判别式即可求出k的值，然后只要判断e^x（x+1）≥2x+1是否恒成立即可．

解答：解：（1）f'（x）=a^x（ax+1+a），（1分）
当a＞0时，f'（x）＞0?ax＞-a-1，即x＞-1-

1

a

，
函数f（x）在区间(-1-

1

a

，+∞)上是增函数，
在区间(-∞，-1-

1

a

)上是减函数；（3分）
当a=0时．f'（x）＞0，函数f（x）是区间（-∞，+∞）上的增函数；（4分）
当a＜0时，f'（x）＞0?ax＞-a-1即x＜-1-

1

a

，
函数f（x）在区间(-∞，-1-

1

a

)上是增函数，在区间(-1-

1

a

，+∞)上是减函数．（6分）
（2）若存在，则e^x（x+1）≥kx+m≥-x²+2x+1恒成立，
令x=0，则1≥m≥1，所以m=1，（8分）
因此：kx+1≥-x²+2x+1恒成立，即-x²+（k-2）x≥0恒成立，
由△≤0得到：k=2，
现在只要判断e^x（x+1）≥2x+1是否恒成立，（10分）
设?（x）=e^x（x+1）-（2x+1），因为：?'（x）=e^x（x+2）-2，
当x＞0时，e^x＞1，x+2＞2，?'（x）＞0，
当x＜0时，e^x（x+2）＜2e^x＜2，?'（x）＜0，
所以?（x）≥?（0）=0，即e^x（x+2）≥2x+1恒成立，
所以函数f（x）与函数g（x）=-x²+2x+1存在“分界线”．（13分）

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．