Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=
90°，侧面PAD⊥底面ABCD．若PA=AB=BC=

1

2

AD．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由已知易得，AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，分别求出各顶点的坐标，然后求出直线CD的方向向量及平面PAC的法向量，代入向量夹角公式，即可得到答案．
（II）设侧棱PA的中点是E，我们求出直线BE的方向向量及平面PCD的法向量，代入判断及得E点符合题目要求；
（III）求现平面APD的一个法向量及平面PCD的一个法向量，然后代入向量夹角公式，即可求出二面角A-PD-C的余弦值．

解答：解：因为∠PAD=90°，所以PA⊥AD．又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD=AD，所以PA⊥底面ABCD．又因为∠BAD=90°，
所以AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图．
设AD=2，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）．
（Ⅰ）证明：

AP

=(0，  0，  1)，

AC

=(1，  1，  0)，

CD

=(-1，  1，  0)，
所以

AP

•

CD

=0，

AC

•

CD

=0，所以AP⊥CD，AC⊥CD．
又因为AP∩AC=A，所以CD⊥平面PAC．（4分）
（Ⅱ）设侧棱PA的中点是E，则E(0，0，

1

2

)，

BE

=(-1，0，

1

2

)．
设平面PCD的一个法向量是n=（x，y，z），则

n• CD =0 n• PD =0

因为

CD

=(-1，1，0)，

PD

=(0，2，  -1)，
所以

-x+y=0 2y-z=0

取x=1，则n=（1，1，2）．
所以n•

BE

=(1，1，2)•(-1，0，

1

2

)=0，所以n⊥

BE

．
因为BE?平面PCD，所以BE∥平面PCD．（8分）
（Ⅲ）由已知，AB⊥平面PAD，所以

AB

=(1，0，0)为平面PAD的一个法向量．
由（Ⅱ）知，n=（1，1，2）为平面PCD的一个法向量．
设二面角A-PD-C的大小为θ，由图可知，θ为锐角，
所以cosθ=

n• AB

|n|| AB |

=

(1，1，2)•(1，0，0)

6 ×1

=

6

6

．
即二面角A-PD-C的余弦值为

6

6

．（13分）

点评：利用空间向量来解决立体几何夹角问题，其步骤是：建立空间直角坐标系?明确相关点的坐标?明确相关向量的坐标?通过空间向量的坐标运算求解．