Question

14．已知f（x）=$\frac{2}{{{3^x}+1}}$+m，m是实常数，
（1）当m=1时，写出函数f（x）的值域；
（2）当m=0时，判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；
（3）若f（x）是奇函数，不等式f（f（x））+f（a）＜0对x∈R恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当m=1时，函数f（x）的定义域为R，进一步求出函数的值域；
（2）当m=0时，f（x）=$\frac{2}{{{3^x}+1}}$，利用函数的奇偶性判断并证明；
（3）由f（x）是奇函数，得到f（-x）=-f（x）恒成立，化简整理得m的值，利用定义法研究$f（x）=\frac{2}{{{3^x}+1}}-1$的单调性，最后即可得到a的取值范围．

解答 解：（1）当m=1时，$f（x）=\frac{2}{{{3^x}+1}}+1$，定义域为R，${3^x}+1∈（{1，+∞}），\frac{2}{{{3^x}+1}}∈（{0，2}）$，$f（x）=\frac{2}{{{3^x}+1}}+1∈（{1，3}）$，即函数的值域为（1，3）；
（2）f（x）为非奇非偶函数．当m=0时，$f（x）=\frac{2}{{{3^x}+1}}，f（1）=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}，f（{-1}）=\frac{2}{{\frac{1}{3}+1}}=\frac{3}{2}$，
∵f（-1）≠f（1），∴f（x）不是偶函数；又∵f（-1）≠-f（1），∴f（x）不是奇函数；
即f（x）为非奇非偶函数；
（3）∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）恒成立，即$\frac{2}{{{3^x}+1}}+m=-\frac{2}{{{3^x}+1}}-m$对x∈R恒成立，化简整理得$-2m=\frac{{2×{3^x}}}{{1+{3^x}}}+\frac{2}{{{3^x}+1}}=2$，即m=-1．
下用定义法研究$f（x）=\frac{2}{{{3^x}+1}}-1$的单调性：
设任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{2}{{{3^{x_1}}+1}}-1-\frac{2}{{{3^{x_2}}+1}}+1$=$\frac{{2（{{3^{x_2}}-{3^{x_1}}}）}}{{（{{3^{x_1}}+1}）（{{3^{x_2}}+1}）}}＞0$，
∴函数f（x）在R上单调递减．
∵f（f（x））+f（a）＜0恒成立，且函数为奇函数，∴f（f（x））＜-f（a）=f（-a）恒成立，
又∵函数f（x）在R上单调递减，∴f（x）＞-a恒成立，即f_min（x）＞-a恒成立，
又∵函数$f（x）=\frac{2}{{{3^x}+1}}-1$的值域为（-1，1），∴-a≤-1，即a≥1．

点评 本题考查了函数奇偶性的判断，考查了函数的值域以及不等式的证明，是中档题．