如图4,在正三棱柱中,
D是的中点,点E在
上,且
。
(I) 证明平面平面
(II) 求直线和平面
所成角的正弦值。
(Ⅰ)略(Ⅱ)
(I) 如图所示,由正三棱柱的性质知
平面
又DE平面A
B
C
,所以DE
AA
.
而DEAE。AA
AE=A 所以DE
平面AC C
A
,又DE
平面ADE,故平面ADE
平面AC C
A
。
(2)解法1 如图所示,设F使AB的中点,连接DF、DC、CF,由正三棱柱ABC- AB
C
的性质及D是A
B的中点知A
B
C
D, A
B
DF
又CD
DF=D,所以A
B
平面C
DF,
而AB∥AB,所以
AB平面C
DF,又AB
平面ABC,故
平面AB C平面C
DF。
过点D做DH垂直CF于点H,则DH
平面AB C
。
连接AH,则HAD是AD和平面ABC
所成的角。
由已知AB=A A
,不妨设A A
=
,则AB=2,DF=
,D C
=
,
CF=
,AD=
=
,DH=
=
—
,
所以 sinHAD=
=
。
即直线AD和平面AB C所成角的正弦值为
。
解法2 如图所示,设O使AC的中点,以O为原点建立空间直角坐标系,不妨设
A A=
,则AB=2,相关各点的坐标分别是
A(0,-1,0), B(,0,0), C
(0,1,
), D(
,-
,
)。
易知=(
,1,0),
=(0,2,
),
=(
,-
,
)
设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则有
解得x=-y, z=-
,
故可取n=(1,-,
)。
所以,(n·
)=
=
=
。
由此即知,直线AD和平面AB C所成角的正弦值为
。
科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分12分)
如图3,在正三棱柱中,AB=4,
,点D是BC的中点,
点E在AC上,且DEE。
(Ⅰ)证明:平面平面
;
(Ⅱ)求直线AD和平面所成角的正弦值。
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