Question

设数列{a_n}满足a_n＞0，（n∈N⁺），其前n项和为S_n，且

a

3 1

+

a

3 2

+

a

3 3

+…+

a

3 n

=

S

2 n

（1）求a_n+1与S_n之间的关系，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）令Tn=

1

a1 a   2

+

1

a2 a   3

+…+

1

an a   n+1

，求证：

n

i=1

[(1-

Ti

Ti+1

)

1

Ti+1

]＜2(

2

-1)．．

Answer 1

分析：（1）利用

a

3 1

+

a

3 2

+

a

3 3

+…+

a

3 n

=

S

2 n

，可得

a

3 1

+

a

3 2

+

a

3 3

+…+

a

3 n+1

=

S

2 n+1

，两式相减，即可求得an+12-an+1=2Sn，再写一式，两式相减，即可证得数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）根据

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，可得Tn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1)

=

n

n+1

，从而可证(1-

Ti

Ti+1

)

1

Ti+1

=(

1

Ti

-

1

Ti+1

)

Ti

Ti+1

＜2(

1

Ti

-

1

Ti+1

)，即可得出结论．

解答：解：（1）由已知得，当n=1时，a₁³=S₁²=a₁²，
又∵a_n＞0，∴a₁=1
∵

a

3 1

+

a

3 2

+

a

3 3

+…+

a

3 n

=

S

2 n

①，

a

3 1

+

a

3 2

+

a

3 3

+…+

a

3 n+1

=

S

2 n+1

②
②-①an+13=

S

2 n+1

-Sn2
∵a_n+1＞0，∴Sn+1+Sn=an+12
∴an+1+2Sn=an+12
∴an+12-an+1=2Sn①
当n≥2时，an2-an=2Sn-1②
①-②（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1（n≥2）
故数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
∴a_n=n（n∈N^*）
（2）∵

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴Tn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1)

=

n

n+1

∵

Ti

Ti+1

=

i(i+2)

(i+1)2

＜1，∴(1-

Ti

Ti+1

)

1

Ti+1

=(

1

Ti

-

1

Ti+1

)

Ti

Ti+1

＜2(

1

Ti

-

1

Ti+1

)
∴

n

i=1

[(1-

Ti

Ti+1

)

1

Ti+1

]＜2(

1

T1

-

1

Tn+1

)=2(

2

-

n+2 n+1

)＜2(

2

-1)

点评：本题考查的是数列与不等式的综合题，考查裂项法求和，考查放缩法的运用．在解答的过程当中充分体现了数列通项与前n项和的知识．