Question

3．设f（x）定义于实数集上，当x＞0时，f（x）＞1，且对于任意实数x，y，有f（x+y）=f（x）•f（y），求证：f（x）在R上为增函数．

Answer 1

分析 采用赋值法，令x=y=0，即可求得f（0）；对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y），由f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x）可求得f（x）＞0，再利用单调性的定义即可证明f（x）为单调递增函数．

解答 证明：令x=y=0，f（0）=f²（0）⇒f（0）=0或f（0）=1，
∵x＞0时，f（x）＞1
∴f（1）＞1，又f（1）=f（1+0）=f（1）f（0），∴f（0）≠0，故f（0）=1．
又f（0）=f（x-x）=f[x+（-x）]=f（x）f（-x），∴f（x）f（-x）=1，
∴对于任意x＜0，则-x＞0，∴f（-x）＞1，∴f（x）=$\frac{1}{f（-x）}$＞0，
∴?x∈R，f（x）＞0，
设任意的两个实数x₁、x₂，且x₁＜x₂，
∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞1，
∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）f（x₁）＞f（x₁），
∴f（x）是R上的增函数．

点评 本题考查函数单调性的判断与证明，考查赋值法的运用，考查函数单调性的定义的应用，属于中档题．