Question

（2010•河东区一模）长方体中AA₁=AB=2，AD=1．点E、F、G分别为DD₁、AB、CC₁的中点，则异面直线A₁E与GF所成角的余弦值为（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  5

  10

• C．1
• D．0

Answer 1

分析：连结B₁G，可证明A₁E∥B₁G，则∠B₁GF或其补角为两条异面直线所成的角，在三角形B₁GF中，根据边的关系可得异面直线A₁E与GF所成角为90°，从而答案可求．

解答：解：如图，
连结B₁G，因为E，G分别为DD₁，CC₁的中点，所以A₁B₁∥EG，A₁B₁=EG，所以四边形A₁B₁GE为平行四边形，
所以A₁E∥B₁G，连结B₁F，在直角三角形B₁C₁G中，由勾股定理求得B₁G=

2

，
同理求得B1F=

5

，FG=

3

，
所以，有B1G2+GF2=B1F2，则B₁G⊥GF．
即异面直线A₁E与GF所成角为90°．
其余弦值为0．
故选D．

点评：本题考查了异面直线及其夹角，考查了学生的空间想象和思维能力，属于基础的计算题．