Question

20．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A（0，-1），直线l与椭圆C交于P，Q两点，且|AP|=|AQ|，当△OPQ（O为坐标原点）的面积S最大时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆过点M（2，1），且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程；
（Ⅱ）由题意知直线l的斜率k存在，当k=0时，直线l的方程为y=±1．当k≠0时，可设直线l的方程为y=kx+m，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-2）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式，结合已知条件能求出直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，又a²=b²+c²，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（Ⅱ）由题意知直线l的斜率k存在，
①当k=0时，设直线l的方程为y=y₀，P（-x₀，y₀），Q（x₀，y₀），
则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}=1$，
∴S=$\frac{1}{2}$|2x₀|•|y₀|=|x₀|•|y₀|=2$\sqrt{{{y}_{0}}^{2}（2-{{y}_{0}}^{2}）}$≤$2•\frac{{{y}_{0}}^{2}+（2-{{y}_{0}}^{2}）}{2}$=2，
当且仅当${{y}_{0}}^{2}$=2-${{y}_{0}}^{2}$，即|y₀|=1时，取等号，
此时直线l的方程为y=±1．
②当k≠0时，可设直线l的方程为y=kx+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-2）=0，
由△=（8km）²-4（1+4k²）•4（m²-2）＞0，
解得8k²+2＞m²，（*）
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4（{m}^{2}-2）}{1+4{k}^{2}}$，
∴PQ中点为（-$\frac{4km}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+4{k}^{2}}$），
∵|AP|=|AQ|，∴$\frac{\frac{m}{1+4{k}^{2}}+1}{-\frac{4km}{1+4{k}^{2}}-0}=-\frac{1}{k}$，化简得1+4k²=3m，
结合（*）得0＜m＜6，
又O到直线l的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}•\sqrt{8{k}^{2}+2-{m}^{2}}}}{1+4{k}^{2}}$，
∴S=$\frac{1}{2}$|PQ|•d=$\frac{1}{2}$•$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}•\sqrt{8{k}^{2}+2-{m}^{2}}}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{6m-{m}^{2}}$=$\frac{2}{3}\sqrt{-（m-3）^{2}+9}$，
∴当m=3时，S取最大值2，此时k=$±\sqrt{2}$，直线l的方程为y=$±\sqrt{2}x+3$．
综上所述，直线l的方程为y=±1或y=$±\sqrt{2}x+3$．

点评 本题考查椭圆方程、直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式的合理运用．