【题目】若函数满足:集合中至少存在三个不同的数构成等比数列,则称函数是等比源函数.
()判断下列函数:①;②;③中,哪些是等比源函数?(不需证明)
()判断函数是否为等比源函数,并证明你的结论.
()证明: , ,函数都是等比源函数.
【答案】()①②③均为等比源函数.()函数不是等比源函数()见解析
【解析】试题分析:(1)直接举例说明题目给出的三个函数都是“等比源函数”;(2)利用反证法思想,假设存在正整数, , ,且,是, , 成等比数列,推出矛盾,从而证明函数f(x)=2x+1不是等比源函数;(3)首先证明数列{g(n)}为等差数列,然后验证g(1),g[g(1)+1],g[2g(1)+g(1)d+1]构成等比数列,从而说明结论的正确性.
试题解析:
()①当取, , 时, 得, , 构成等比数列,∴是等比源函数.
②当取, , 时, 得, , 构成等比数列,∴是等比源函数.
③当取, , 时, 得, , 构成等比数列,∴是等比源函数.
综上①②③均为等比源函数.
()函数不是等比源函数,
证明如下:
假设存在正整数, , ,且,是, , 成等比数列,∴,
,∴,等式两边同除以,
∴,又∵, ,
∴等式左边为偶数,等式右边为奇数,∴不可能成立,
故假设不成立,
∴不是等比源函数.
()证明:∵, ,都有,
∴, ,数列都是以为首项,公差为的等差数列,
, , , , 成等比数列,
∴,
,
,
∴, , ,
∴, ,函数都是等比源函数.
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【题目】已知数列{an}的前n项和Sn=1﹣nan(n∈N*)
(1)计算a1 , a2 , a3 , a4;
(2)猜想an的表达式,并用数学归纳法证明你的结论.
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【题目】某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200.220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图示. (Ⅰ)求直方图中x的值;
(Ⅱ)求月平均用电量的众数和中位数;
(Ⅲ)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280)的三组用户中,用分层抽样的方法抽取10户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?
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【题目】设f(x)=|x﹣3|+|x﹣4|. (Ⅰ)解不等式f(x)≤2;
(Ⅱ)若对任意实数x∈[5,9],f(x)≤ax﹣1恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】已知向量,
(1)若,求的值;
(2)令,把函数的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半(纵坐标不变),再把所得图象沿轴向左平移个单位,得到函数的图象,求函数的单调增区间即图象的对称中心.
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【题目】已知全集U=R,集合A= ,B={y|y=log2x,4<x<16},
(1)求图中阴影部分表示的集合C;
(2)若非空集合D={x|4﹣a<x<a},且D(A∪B),求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=3sin(ωx+) 的部分图象如图所示,A,B两点之间的距离为10,且f(2)=0,若将函数f(x)的图象向右平移t(t>0)的单位长度后所得函数图象关于y轴对称,则t的最小值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】已知椭圆E: 经过点P(2,1),且离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设O为坐标原点,在椭圆短轴上有两点M,N满足,直线PM、PN分别交椭圆于A,B.探求直线AB是否过定点,如果经过定点请求出定点的坐标,如果不经过定点,请说明理由.
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