Question

已知集合M={f（x）|y=f（x）}，其元素f（x）须同时满足下列三个条件：
①定义域为（-1，1）；
②对于任意的x，y∈（-1，1），均有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)；
③当x＜0时，f（x）＞0．
（Ⅰ）若函数f（x）∈M，证明：y=f（x）在定义域上为奇函数；
（Ⅱ）若函数h(x)=ln

1-x

1+x

，判断是否有h（x）∈M，说明理由；
（Ⅲ）若f（x）∈M且f(-

1

2

)=1，求函数y=f(x)+

1

2

的所有零点．

Answer 1

分析：（I）令x=y=O，由已知可得f（0）=0，令y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0，进而根据奇函数的定义可得y=f（x）在定义域上为奇函数；
（Ⅱ）根据函数的解析式h(x)=ln

1-x

1+x

，求出函数的定义域，并验证条件①②③是否成立，进而根据集合M的定义判断h（x）∈M是否成立；
（III）根据已知分析函数的单调性，结合单调函数的图象和性质可以分析出函数在定义域上至多有一个零点，结合f(-

1

2

)=1可求出该零点．

解答：证明：（I）若函数f（x）∈M，
则函数的定义域为（-1，1），关于原点对称
令x=y=O，则由f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)得f（0）+f（0）=f（0）
即f（0）=0
令y=-x
则f（x）+f（-x）=f（0）=0
即y=f（x）在定义域上为奇函数；
（Ⅱ）h（x）∈M，理由如下：
函数h(x)=ln

1-x

1+x

的定义域为（-1，1），满足条件①
且h(x)+h(y)=ln

1-x

1+x

+ln

1-y

1+y

=ln

1-x

1+x

•

1-y

1+y

=ln

1+xy-x-y

1+xy+x+y

h(

x+y

1+xy

)=ln

1- x+y 1+xy

1+ x+y 1+xy

=ln

1+xy-x-y

1+xy+x+y

故h（x）+h（y）=h(

x+y

1+xy

)，满足条件②
当-1＜x＜0时，

1-x

1+x

＞1，此时h（x）＞0，满足条件③
故h（x）∈M
（III）令-1＜x＜y＜1，则x-y＜0，1-xy＞0，则

x-y

1-xy

＜0
由f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)及（1）可得f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)
又∵当x＜0时，f（x）＞0
∴f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)＞0
即f（x）＞f（y）
故f（x）在区间（-1，1）上为减函数，故函数至多有一个零点
∵f(-

1

2

)=1，∴f(

1

2

)=-1
又∵当x=y=2-

3

时，f(2-

3

)+f(2-

3

)=f(

1

2

)
∴f(2-

3

)=-

1

2

，此时y=f(x)+

1

2

=0
故函数y=f(x)+

1

2

的零点为2-

3

点评：本题是函数奇偶性与单调性的综合应用，同时又有一个比较难理解的新定义集合M，且（III）中函数零点的求法难度也比较大．