Question

【题目】设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是______.

Answer 1

【答案】（0，1]∪[9，+∞）

【解析】

分焦点在轴上两种情况进行讨论,再根据临界条件点在椭圆的短轴端点上,进而求解的临界值,进而求得取值范围即可.

假设椭圆的焦点在x轴上,则0＜m＜3时,

假设M位于短轴的端点时,∠AMB取最大值,要使椭圆C上存在点M满足∠AMB＝120°,∠AMB≥120°,∠AMO≥60°,tan∠AMOtan60°,

解得：0＜m≤1；

当椭圆的焦点在y轴上时,m＞3,

假设M位于短轴的端点时,∠AMB取最大值,要使椭圆C上存在点M满足∠AMB＝120°,∠AMB≥120°,∠AMO≥60°,tan∠AMOtan60°,解得：m≥9,

∴m的取值范围是（0,1]∪[9,+∞）

故答案为：