Question

若实数a≠0，函数f（x）=-2ax³-ax²+12ax+1，g（x）=2ax²+3．
（1）令h（x）=f（x）-g（x），求函数h（x）的极值；
（2）若在区间（0，+∞）上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵h（x）=f（x）-g（x）=-2ax³-3ax²+12ax-2
∴h'（x）=-6ax²-6ax+12a=-6a（x+2）（x-1）
令h'（x）=0，∴x=-2或x=1
若a＞0，当x＞-2时，h'（x）＞0；当x＜-2时，h'（x）＜0
∴x=-2是函数h（x）的极小值点，极小值为h（-2）=-20a-2；
当x＞1时，h'（x）＜0；当x＜1时，h'（x）＞0
∴x=1是函数h（x）的极大值点，极大值为h（1）=7a-2
若a＜0，易知，x=-2是函数h（x）的极大值点，极大值为h（-2）=-20a-2；x=1是函数h（x）的极小值点，
极小值为h（1）=7a-2
（2）若在（0，+∞）上至少存在一点x₀使得f（x₀）＞g（x₀）成立，
则f（x）＞g（x）在（0，+∞）上至少存在一解，即h（x）＞0在（0，+∞）上至少存在一解
由（1）知，当a＜0时，函数h（x）在区间（0，+∞）上递增，且极小值为h（1）=7a-2＜0
∴此时h（x）＞0在（0，+∞）上至少存在一解；
当a＞0时，函数h（x）在区间（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
∴要满足条件应有函数h（x）的极大值h（1）=7a-2＞0，即
综上，实数a的取值范围为a＜0或．
分析：（1）对函数h（x）求导h'（x）=-6ax²-6ax+12a=-6a（x+2）（x-1），分a＞0，a＜0两种情况分别讨论求函数的极值即可
（2）若在（0，+∞）上至少存在一点x₀使得f（x₀）＞g（x₀）成立?f（x）＞g（x）在（0，+∞）上至少存在一解?h（x）＞0在（0，+∞）上至少存在一解，结合（1）知，分别讨论a＜0时，函数h（x）在区间（0，+∞）上递增，且极小值为h（1）＜0，满足条件；当a＞0时，函数h（x）在区间（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，要满足条件则函数h（x）的极大值h（1）＞0，从而可求a的范围
点评：本题主要考查了利用函数的导数求解函数 单调性及函数的极值，方程与函数、不等式的相互转化的思想的应用，属于综合性试题．