Question

13．已知点P在直线x-2y-1=0上，点Q在直线x-2y+3=0上，线段PQ的中点为M（x₀，y₀）且y₀＞-x₀+2，则$\sqrt{（{x}_{0}-4）^{2}+{y}_{0}^{2}}$的取值范围是[$\sqrt{5}$，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可得x₀=2y₀-1，代入消元后由二次函数区间的最值可得．

解答 解：∵直线x-2y-1=0与直线x-2y+3=0平行，
∴线段PQ的中点为M（x₀，y₀）在与之平行的直线x-2y+1=0上，
∴x₀-2y₀+1=0，∴x₀=2y₀-1，
∵y₀＞-x₀+2，∴y₀＞-2y₀+1+2，解得y₀＞1，
∴$\sqrt{（{x}_{0}-4）^{2}+{y}_{0}^{2}}$=$\sqrt{（2{y}_{0}-5）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$=$\sqrt{5{{y}_{0}}^{2}-20{y}_{0}+25}$，
由二次函数可知当y₀=-$\frac{-20}{2×5}$=2（满足y₀＞1）时上式取最小值$\sqrt{5×{2}^{2}-20×2+25}$=$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{（{x}_{0}-4）^{2}+{y}_{0}^{2}}$的取值范围为：[$\sqrt{5}$，+∞）．
故答案为：[$\sqrt{5}$，+∞）．

点评 本题考查直线间的距离，涉及二次函数区间的最值，属基础题．