Question

设函数f（x）=5^x-6，g (x)=log

5

f(x)
（1）解不等式g（n）[g（1）+g（2）+…+g（n）]＜0 （n∈N^*）；
（2）求h（n）=g（n）[g（1）+g（2）+…+g（n）]-132n （n∈N^*）的最小值．

Answer 1

（1）g(n)=log

5

(5n-6)=2n-12 (n∈N*)，（2分）
∴g（1）+g（2）++g（n）=n²-11n，（2分）
解不等式（2n-12）（n²-11n）＜0，得6＜n＜11（n∈N^*）；（2分）
（2）当x∈R时，h（x）=（2x-12）（x²-11x）-132x
=2x³-34x²，h′（x）=6x²-68x，
由h′（x）＞0，得x＜0或x＞11

1

3

，（2分）
∵n∈N^*，∴1≤n≤11时，h（n）单调递减，
n≥12时，h（n）单调递增，（2分）
当n=11时，h（11）=-1452，当n=12时，h（12）=-1440，
∴h（n）_min=h（11）=-1452．（2分）