Question

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（x∈R）同时满足：
①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；
②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n），
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}中，令，T_n=，求T_n；
（3）设各项均不为零的数列{c_n}中，所有满足c_i•c_i+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{c_n}的变号数．令（n为正整数），求数列{c_n}的变号数．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）≤0的解集有且只有一个元素可知△=a²-4a=0，从而可求得a值，又定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立，对a进行检验取舍，可确定a值，利用S_n与a_n的关系即可求得a_n．
（2）由（1）求得b_n，根据其结构特征利用错位相减法即可求得T_n；
（3）先求出C_n，判断n≥3时数列的单调性，根据变号数的定义可得n≥3时的变号数，根据c₁=-3，c₂=5，c₃=-3，可得此处变号数，从而可求得数列{c_n}的变号数．
解答：解：（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，
∴△=a²-4a=0⇒a=0或a=4，
当a=0时，函数f（x）=x²在（0，+∞）上递增，
故不存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立，
当a=4时，函数f（x）=x²-4x+4在（0，2）上递减，
故存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
综上，得a=4，f（x）=x²-4x+4，
∴，
∴；
（2）∵=，
∴b_n=n，
，①
，②
①-②得，-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=-n•2ⁿ⁺¹，
∴；
（3）由题设
∵n≥3时，，
∴n≥3时，数列{c_n}递增，
∵，由，
可知a₄•a₅＜0，即n≥3时，有且只有1个变号数；
又∵c₁=-3，c₂=5，c₃=-3，
即c₁•c₂＜0，c₂•c₃＜0，
∴此处变号数有2个．
综上得 数列{c_n}共有3个变号数，即变号数为3；
点评：本题考查数列与函数的综合，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，考查学生解决新问题的能力，综合性强，难度大，对能力要求高．