Question

设（1+x+x²）ⁿ=a+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ（n≥2，n∈N），则a₃+a₅+a₇+…+a_2n-1=（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：采用赋值法，令x=1，3ⁿ=a+a₁+a₂+…+a_2n①，再令x=-1，可得1=a-a₁+a₂-a₃+…-a_2n-1+a_2n②两式作差，再求出a₁即可求得a₃+a₅+a₇+…+a_2n-1的值．
解答：解：∵（1+x+x²）ⁿ=a+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ（n≥2，n∈N），
∴令x=1，3ⁿ=a+a₁+a₂+…+a_2n，①
再令x=-1，可得1=a-a₁+a₂-a₃+…-a_2n-1+a_2n，②
①-②得：a₁+a₃+…+a_2n-1=，
又（1+x+x²）ⁿ=[x²+（1+x）]ⁿ，其展开式中T₁=C_nⁿ（x²）（1+x）ⁿ，从中可求x的系数，它来自（1+x）ⁿ展开式中x的系数，为a₁=C_n¹=n，
∴a₃+a₅+a₇+…+a_2n-1=．
故选C．
点评：本题考查二项式系数的性质，难点在于x的系数a₁的确定，着重考查赋值法及二项展开式的通项公式的应用，属于中档题．