Question

如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，CD∥AP，AD与BC相交于点E，F为CE上一点，且DE²＝EF·EC.

(1)求证：∠P＝∠EDF；
(2)求证：CE·EB＝EF·EP；
(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的长．

Answer 1

(1) (2)见解析   (3)

(1)证明　∵DE²＝EF·EC，∴DE∶CE＝EF∶ED.
∵∠DEF是公共角，∴△DEF∽△CED.
∴∠EDF＝∠C.
∵CD∥AP，∴∠C＝∠P.
∴∠P＝∠EDF.
(2)证明　∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，
∴△DEF∽△PEA.
∴DE∶PE＝EF∶EA.即EF·EP＝DE·EA.
∵AD、BC相交于点E，
∴DE·EA＝CE·EB.∴CE·EB＝EF·EP.
(3)解　∵DE²＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，∴EC＝9.
∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6.
∵CE·EB＝EF·EP，∴9×6＝4×EP.
解得：EP＝.
∴PB＝PE－BE＝，PC＝PE＋EC＝.
由切割线定理得：PA²＝PB·PC，
∴PA²＝×，
∴PA＝.