Question

已知函数f（x）=e^x，g（x）=ax²+bx+1（a，b∈R）．
（1）若a≠0，则a，b满足什么条件时，曲线y=f（x）与y=g（x）在x=0处总有相同的切线？
（2）当a=1时，求函数h(x)=

g(x)

f(x)

的单调减区间；
（3）当a=0时，若f（x）≥g（x）对任意的x∈R恒成立，求b的取值的集合．

Answer 1

分析：（1）分别利用导数求出y=f（x）与y=g（x）在x=0的切线方程，根据两切线重合可求出a，b满足的条件；
（2）先求出函数h（x）的解析式，然后求出导函数h′（x），令h′（x）=0，讨论根的大小，从而求出函数的单调减区间；
（3）当a=0时，令φ（x）=f（x）-g（x）=e^x-bx-1，利用导数研究函数的最小值，讨论函数的单调性，从而求出b的取值的集合．

解答：解：（1）∵f′（x）=e^x，∴f′（0）=1，又f（0）=1，
∴y=f（x）在x=0处的切线方程为y=x+1，
又∵g′（x）=2ax+b，∴g′（0）=b，又g（0）=1，
∴y=g（x）在x=0处的切线方程为y=bx+1，
∴当a≠0，b=1时，曲线y=f（x）与y=g（x）在x=0处总有相同的切线；
（2）当a=1时，函数h(x)=

g(x)

f(x)

=

x2+bx+1

ex

，
∴h′（x）=

-x2+(2-b)x+b-1

ex

=-

(x-1)(x-(1-b))

ex

，
由h′（x）=0，得x=1或1-b，
∴当b＞0时，函数y=h（x）的减区间为（-∞，1-b），（1，+∞）；
当b=0时，函数y=h（x）的减区间为（-∞，+∞）；
当b＜0时，函数y=h（x）的减区间为（-∞，1），（1-b，+∞）；
（3）当a=0时，φ（x）=f（x）-g（x）=e^x-bx-1，
∴φ′（x）=e^x-b，
①当b≤0时，φ′（x）≥0，函数φ（x）在R上单调递增，又φ（0）=0，
∴x∈（-∞，0）时，φ（x）＜0，与函数f（x）≥g（x）矛盾，
②当b＞0时，φ′（x）＞0，x＞lnb；∴φ′（x）＜0，x＜lnb，
∴函数φ（x）在（-∞，lnb）上单调递减，在（lnb，+∞）上单调递增，
1°当0＜b＜1时，lnb＜0，又φ（0）=0，∴φ（b）＜0，与函数f（x）≥g（x）矛盾，
2°当b＞1时，同理φ（lnb）＜0，与函数f（x）≥g（x）矛盾，
3°当b=1时，lnb=0，∴函数φ（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴φ（x）≥φ（0）=0，故b=1满足题意，
综上所述，b的取值的集合为{1}．

点评：本题考查了利用导数研究在曲线某点处的切线方程，利用导数研究函数的单调性，同时考查了不等式恒成立问题，解题过程中运用了构造函数的思想，是综合性较强的一道导数应用题．属于难题．