Question

顶点为P的圆锥的轴截面积是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，O为底面圆的圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O-HPC的体积最大时，OB的长是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：画出图形，说明PC是三棱锥P-OCH的高，△OCH的面积在OH=HC=时取得最大值，求出OB即可．
解答：解：AB⊥OB，可得PB⊥AB，即AB⊥面POB，所以面PAB⊥面POB．
OH⊥PB，则OH⊥面PAB，OH⊥HC，OH⊥PC，
又，PC⊥OC，所以PC⊥面OCH．即PC是三棱锥P-OCH的高．PC=OC=2．
而△OCH的面积在OH=HC=时取得最大值（斜边=2的直角三角形）．
当OH=时，由PO=2，知∠OPB=30°，OB=POtan30°=．
故选D．
点评：本题考查圆锥的结构特征，棱锥的体积等知识，考查空间想象能力，是中档题．