Question

【题目】已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，，求证：．

Answer 1

【答案】(1) 见解析；(2)证明见解析

【解析】

（1）由f（x）含有参数a，单调性和a的取值有关，通过分类讨论说明导函数的正负，进而得到结论；

（2）法一：将已知变形，对a分类讨论研究的正负，当与时，通过单调性可直接说明，当时，可得g（x）的最大值为,利用导数解得结论．

法二：分析时，且使得已知不成立；当时，利用分离变量法求解证明.

（1），

①当时，由得，得，所以在上单调递增；

②当时，由得，解得，

所以在上单调递增，在在上单调递减；

（2）法一：由得（*），

设，则，

①当时，，所以在上单调递增，

，可知且时，

，，可知（*）式不成立；

②当时，，所以在上单调递减，

，可知（*）式成立；

③当时，由得，

所以在上单调递增，可知在上单调递减，

所以，由（*）式得，

设，则，所以在上单调递减，而，h（1）=1-2=-1<0，

所以存在t，使得h（t）=0，由得；

综上所述，可知．

法二：由得 （*），

①当时，得，且时，

，可知（*）式不成立；

②当时，由（*）式得，即，

设，则，

设，则，所以在上单调递减，

又，，所以， （**），

当时， ，得，所以在上递增，

同理可知在上递减，所以，

结合（**）式得，所以，

综上所述，可知．