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如果f(x0)是函数f(x)的一个极值,称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个极值点.已知函数f(x)=(ax-b)e
a
x
(x≠0且a≠0)
(1)若函数f(x)总存在有两个极值点A,B,求a,b所满足的关系;
(2)若函数f(x)有两个极值点A,B,且存在a∈R,求A,B在不等式|x|<1表示的区域内时实数b的范围.
(3)若函数f(x)恰有一个驻点A,且存在a∈R,使A在不等式
|x|<1
|y|<e2
表示的区域内,证明:0≤b<1.
(1)f′(x)=a•e
a
x
+(ax-b)(-
a
x2
)•e
a
x

令f'(x)=0得x2-ax+b=0
∵函数f(x)总存在有两个极值点
∴x2-ax+b=0由2个不同的实数根
∴a2-4b>0
又∵a≠0且x≠0
b<
a2
4
且b≠0
(3分)
(2)x2-ax+b=0在(-1,1)有两个不相等的实根.
△=a2-4b>0
-1<
a
2
<1
1+a+b>0
1-a+b>0
4b>a2
a2<4
b<-1

∴-1<b<1且b≠0(7分)
(3)由①f'(x)=0?x2-ax+b=0(x≠0)
①当b=0f′(x)=a•e
a
x
x2-ax+b
x2
在x=a左右两边异号
∴(a,f(a))是y=f(x)的唯一的一个极值点
由题意知
-1<a<1且a≠0
-e<(a2-b)e<e
0<a2<1
-1<a2<1
即0<a2<1
存在这样的a的满足题意
∴b=0符合题意(9分)
②当b≠0时,f′(x)=
a•e
a
x
x2
(x2-ax+b)

△=a2-4b=0即4b=a2
这里函数y=f(x)唯一的一个驻点为(
a
2
,f(
a
2
))

由题意
|
1
2
a|<1且a≠0
-e<
a2
2
-b<e

0<a2<4
-e
1
2
a2
2
-b<e
1
2
0<4b<4
-e
1
2
<b<e
1
2

∴0<b<1(13分)
综上知:满足题意b的范围为b∈[0,1).(14分)
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科目:高中数学 来源: 题型:

12、函数y=f′(x)是函数y=f(x)的导函数,且函数y=f(x)在点p(x0,f(x0))处的切线为:l:y=g(x)=f′(x0)(x-x0)+f(x0),F(x)=f(x)-g(x),如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,且a<x0<b,那么(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数f(x),如果f′(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的极值点,因为函数f(x)=x3在x=0处的导数值f′(0)=0,所以,x=0是函数f(x)=x3的极值点.以上推理中(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

有这样一段“三段论”推理,对于可导函数f(x),大前提:如果f’(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的极值点;小前提:因为函数f(x)=x3在x=0处的导数值f’(0)=0,结论:所以x=0是函数f(x)=x3的极值点.以上推理中错误的原因是
大前提
大前提
错误(填大前提、小前提、结论).

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